In 1923, Eduard Helly published his celebrated theorem, which originated the well known Helly property. Say that a family of subsets has the Helly property when every subfamily of it, formed by pairwise intersecting subsets, contains a common element. There are many generalizations of this property which are relevant to some parts of mathematics and several applications in computer science. In this work, we survey computational aspects of the Helly property. The main focus is algorithmic. That is, we describe algorithms for solving different problems arising from the basic Helly property. We also discuss the complexity of these problems, some of them leading to NP-hardness results.

Dizemos que G é um grafo e-circular se existe uma bijeção entre seus vértices e retas no plano cartesiano de forma que dois vértices são adjacentes em G se e somente se as retas correspondentes se intersectam dentro do círculo de raio unitário centrado na origem. Esta definição sugere um método para decidir se um dado grafo G é um grafo e-circular, construindo convenientemente um sistema S de equações e inequações que representa a estrutura de G, de tal modo que G é um grafo e-circular se e somente se S tem solução. Em realidade, grafos e-circulares são exatamente os grafos circulares (grafos de interseção de cordas em um círculo), e portanto este método fornece um modo analítico de reconhecimento de grafos circulares. Um grafo G é circular Helly se G é um grafo circular e existe um modelo de cordas de G tal que em todo grupo de três cordas mutuamente intersectantes existe um ponto comum a todas elas. Uma conjectura de Durán (2000) afirma que G é um grafo circular Helly se e somente se G é um grafo circular e não contém diamantes induzidos (um diamante é um grafo formado por quatro vértices e cinco arestas). Muitas tentativas infrutíferas - baseadas principalmente em abordagens combinatórias e geométricas - foram realizadas para tentar validar a conjectura. Neste trabalho, utilizamos as idéias subjacentes à definição de grafos e-circulares e reformulamos a conjectura em termos de uma equivalência entre dois sistemas de equações e inequações, fornecendo uma nova ferramenta analítica para tratá-la.

We say that G is an e-circle graph if there is a bijection between its vertices and straight lines on the cartesian plane such that two vertices are adjacent in G if and only if the corresponding lines intersect inside the circle of radius one. This definition suggests a method for deciding whether a given graph G is an e-circle graph, by constructing a convenient system S of equations and inequations which represents the structure of G, in such a way that G is an e-circle graph if and only if S has a solution. In fact, e-circle graphs are exactly the circle graphs (intersection graphs of chords in a circle), and thus this method provides an analytic way for recognizing circle graphs. A graph G is a Helly circle graph if G is a circle graph and there exists a model of G by chords such that every three pairwise intersecting chords intersect at the same point. A conjecture by Durán (2000) states that G is a Helly circle graph if and only if G is a circle graph and contains no induced diamonds (a diamond is a graph formed by four vertices and five edges). Many unsuccessful efforts - mainly based on combinatorial and geometrical approaches - have been done in order to validate this conjecture. In this work, we utilize the ideas behind the definition of e-circle graphs and restate this conjecture in terms of an equivalence between two systems of equations and inequations, providing a new, analytic tool to deal with it.

The Helly defect of a graph G is the smallest integer i such that the iterated clique graph Ki(G) is clique-Kelly. We prove that it is NP-hard to decide whether the Helly defect of G is at most 1.